Найдите значение |x-7y|, если:

$\sqrt{x^2-2x+5} =- \sqrt{y^2+2y+2} +3$
Преобразуем:
$\sqrt{(x^2-2x+1)+4} =- \sqrt{(y^2+2y+1)+1} +3 \\\ \sqrt{(x-1)^2+4} =- \sqrt{(y+1)^2+1} +3$
Оценим левую часть:
$(x-1)^2 \geq 0 \\\ (x-1)^2+4 \geq 4 \\\ \sqrt{(x-1)^2+4} \geq 2$
Оценим правую часть:
$(y+1)^2 \geq 0 \\\ (y+1)^2 +1\geq 1 \\\ \sqrt{(y+1)^2 +1} \geq 1 \\\ - \sqrt{(y+1)^2 +1} \leq -1 \\\ - \sqrt{(y+1)^2+1} +3\leq 2$
Но левая и правя часть равны. С одной стороны - это число не меньшее 2, с другой стороны - не большее 2. Значит, и левая и правая часть равна 2.
$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{(x-1)^2+4} =2 \\ - \sqrt{(y+1)^2+1} +3=2 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \sqrt{(x-1)^2+4} =2\\ - \sqrt{(y+1)^2+1} =-1 \end{array} \Rightarrow$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \sqrt{(x-1)^2+4} =2\\ \sqrt{(y+1)^2+1} =1 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} (x-1)^2+4 =4\\ (y+1)^2+1 =1 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} (x-1)^2 =0\\ (y+1)^2 =0 \end{array} \Rightarrow$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x-1 =0\\ y+1 =0 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=-1 \end{array}$
$|x-7y|=|1-7\cdot(-1)|=|1+7|=|8|=8$
Ответ: 8