Подскажите, как решить, пожалуйста sin x - cos x = 1

Question 1

Подскажите, как решить, пожалуйста

sin x - $\sqrt{3}$ cos x = 1

Question 2

Метод введения вспомогательного угла - под использование формулы синус суммы, синус разности, косинус суммы, или косинус разности

====================
общая логика преображения ниже
$Asin x+Bcos x=$
$\sqrt{A^2+B^2}*\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}sin x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}cos x=$
$\sqrt{A^2+B^2}(cos \phi sin x+sin \phi cos x)=\sqrt{A^2+B^2}*sin (x+\phi)$
где $\phi=arctg \frac{B}{A}$

собственно уравнение
$sin x-\sqrt{3}cos x=1$
Умножим и разделим левую часть на 2
(так как $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2$
получим
$2*(\frac{1}{2}sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos x)=1$
или
$cos \frac{\pi}{3}sin x-sin \frac{\pi}{3}cos x=\frac{1}{2}$
$sin (x-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$
$x-\frac{\pi}{3}=(-1)^k*arsin \frac{1}{2}+\pi*k$
$x=\frac{\pi}{3}+(-1)^k*\frac{\pi}{6}+\pi*k$
k є Z

dtnth_zn · Answer 1 · 2018-05-10T14:39:07+0000

Метод введения вспомогательного угла - под использование формулы синус суммы, синус разности, косинус суммы, или косинус разности

====================
общая логика преображения ниже
$Asin x+Bcos x=$
$\sqrt{A^2+B^2}*\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}sin x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}cos x=$
$\sqrt{A^2+B^2}(cos \phi sin x+sin \phi cos x)=\sqrt{A^2+B^2}*sin (x+\phi)$
где $\phi=arctg \frac{B}{A}$

собственно уравнение
$sin x-\sqrt{3}cos x=1$
Умножим и разделим левую часть на 2
(так как $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2$
получим
$2*(\frac{1}{2}sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos x)=1$
или
$cos \frac{\pi}{3}sin x-sin \frac{\pi}{3}cos x=\frac{1}{2}$
$sin (x-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$
$x-\frac{\pi}{3}=(-1)^k*arsin \frac{1}{2}+\pi*k$
$x=\frac{\pi}{3}+(-1)^k*\frac{\pi}{6}+\pi*k$
k є Z