В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 6, точка М –...

0 голосов
196 просмотров

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 6, точка М – середина ребра BC, точка О – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. a) Найдите отношение, в котором плоскость CMF делит отрезок SA, считая от вершины S.


Геометрия (19 баллов) | 196 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Рассмотрим ΔASM; AS=6; SM=AM=3√3 как высоты равносторонних треугольников. Высота SO пирамиды делит AM в отношении AO:OM= 2:1;  по условию SF:FO=1:2.
Продолжим MF до пересечения с AS в точке K; поскольку точки M и F лежат в плоскости CMF, точка K также лежит в этой плоскости и поэтому является точкой пересечения плоскости CMF с ребром AS.

Для нахождения отношения SK:KA применим теорему Менелая к треугольнику ASO и прямой MK:

(SK/KA)·(AM/MO)·(OF/FS)=1;

(SK/KA)·(3/1)·(2/1)=1;

SK/KA=1/6.

Если Вы по какой-то неизвестной мне причине до сих пор не знаете теорему Менелая, или учительница не разрешает ей пользоваться, то Вам придется воспользоваться скучной теоремой о пропорциональных отрезках. Для этого придется к тому же сделать дополнительное построение - провести прямую через точку  O параллельно MK до пересечения с AS в точке L.

SK/KL=SF/FO=1/2;
KL/LA=MO/OA=1/2⇒
в SK одна часть, в LK в два раза больше, то есть две части, 
в LA в два раза больше, чем в LK, то есть четыре части⇒
в KA шесть частей⇒ SK/KA=1/6

(64.0k баллов)
0

Спасибо огромное. Да, действительно, теорема Менелая выпадает из применения.