Найдите наибольшее значение функции y = (x − 2)^2 (x − 4) + 2 на отрезке [1; 3].

Найдите наибольшее значение функции
y = (x − 2)^2 (x − 4) + 2 на отрезке [1; 3].

Уточню: Есть понятие точки максимума и есть понятие наибольшего значения функции.
Чтобы найти Наибольшее значение функции на отрезке нужно
1) проверить наличие точек экстремумов
2) определить из них точки максимума
3) Найти значение функции в точке максимума и на концах отрезка (при необходимости)

Решение:

$\displaystyle y=(x-2)^2(x-4)+2\\\\y`=((x-2)^2)`(x-4)+(x-4)`(x-2)^2+0=\\\\=(2(x-2)*1)(x-4)+1(x-2)^2=(x-2)(2x-8+x-2)=\\\\=(x-2)(3x-10)\\\\y`=0\\\\(x-2)(3x-10)=0\\\\x=2; x=10/3$

получили две точки экстремума. Проверим что это за точки

___+____ 2 _____-______ 10/3 ___+_____
возр убыв возр

Значит х=2 точка максимума, х=10/3 точка минимума

в отрезок от [1;3] попадет точка х=2 и это точка максимума

найдем значение функции в этой точке

$\displaystyle y(2)=(2-2)^2(2-4)+2=2$

Значит наибольшее значение на отрезке равно 2

Найдите наибольшее значение функции y = (x − 2)^2 (x − 4) + 2 ** отрезке [1; 3].