Решите квадратное уравнение с комплексным неизвестным
z⁶ =1
Решение : z =a+i*b , i =√-1 _мнимое число
* * * тригонометрический вид комплексного числа z =r(cosφ+i*cosφ) * * *
z⁶ =cos2πn +i *sin2πn ;
z =cos2πn/6 +i sin2πn/6 = cos( πn/3 ) +i sin( πn/3) .
z₁ =cos(π/3 ) +i sin( π/3) = 1/2 +i √3 /2 ;
z₂ =cos(2π/3 ) +i sin( 2π/3) = - 1/2 +i √3 /2 ;
z₃ =cosπ +i sinπ = -1 ;
z₄ =cos(4π/3) +i sin(4π/3) = -1/2 - i√3 /2 ;
z₅ =cos(5π/3) +i sin(5π/3) = 1/2 - i√3 /2 ; ₄ ₅ ₆ ₇
z₆ =cos2π +i sin2π =1
----------------------------------------------------
z₇ - cos(7π/3) +i sin(7π/3) = 1/2 +i√3 /2 _повторяются
....
* * * * * * * " ШКОЛЬНЫЙ (более доступный ) ВАРИАНТ " * * * * * *
z⁶ =1 ;
(z³)²- 1 = 0 ⇔(z³ -1)(z³+1) =0⇔ (z -1)(z²+z+1)(z+1)(z² -z +1) =0 ;
* * *можно было и так (z²)³ -1=0⇔( z² -1) (z⁴+z²+1) =0 ...* * *
(z -1)(z+1) (z²+z+1)(z² -z +1) =0 ;
z -1 =0 ⇒ z=1 ;
z+1 =0 ⇒ z= -1 ;
z²+z+1 = 0 ⇒z = (-1±i√3)/2 = -1/2 ± i√3)/2 ; || D =√((-1)²-4*1*1) =√(-3) =i√3||
z² -z +1 =0 ⇒z =( 1 ± i√3)/2 =1/2 ± i√3)/2 .