Составить рекуррентную формулу для следующего ряда. Я пробовал решать (рисунок 2), но...

Для получения рекуррентной формулы нужно выразить член ряда через предыдущие (и, возможно, номер)
$a_{k+1}= \frac{ (-x)^{2(k+1)} }{2(k+3)!} = \frac{(-x)^{2k} (-x)^{2} }{2(k+2)!(k+3)}$

$a_{k}= \frac{(-x)^{2k}}{2(k+2)!}$

$a_{k+1}= a_{k} } \frac{ (-x)^{2} }{(k+3)}$

теперь возьмем член с k=1
$a_{1}= \frac{ (-x)^{2} }{2*3!}$

отсюда
$(-x)^{2} = a_{1} *2*3!$

подставляя, получим

$a_{k+1}= a_{k} a_{1} \frac{2*3!}{(k+3)}$

это и есть рекуррентная формула