Найти частное решение дифференциального уравнения. y' + y = 2x; y(0) = −1

Нам дано однородное уравнение первого порядка
решать будем так: сделаем замену $y=uv$
$u'v+uv'+uv=2x$

$\left \{ {{v'+v=0} \atop {u'v=2x}} \right.$
$\frac{dv}{dx} =-v$
$\frac{dv}{v} =-dx$
$lnv=-x$
$v=e^{-x}$

$\frac{du}{dx} e^{-x}=2x$
$\int du=\int 2xe^xdx$
проинтегрируем правую часть по частям

$a=x; db=2e^xdx$
$da=dx;b=2e^x$

$u=2xe^x-\int 2e^xdx=2xe^x-2e^x+C=2e^x(x-1)+C$

$y=uv=e^{-x}*(2e^x(x-1)+C)=2(x-1)+Ce^{-x}$

Найдем С

$2(0-1)+Ce^{0}=-1$
$-2+C=-1$
$C=1$

Ответ: $y=2(x-1)+e^{-x}$