Помогите решить, пожалуйста: 1) 16^x+8^x-4*4^x+2^x+1=0 2) x^2+4x+2^sqrt(x+1)+3=0

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$16^x+8^x-4*4^x+2^x+1=0$

замена $2^x=a$ даёт нам следующее уравнение:
$a^4+a^3-4a^2+a+1=0$

переписываем его, взяв в скобки члены с одинаковой буквенной частью:
$(a^2+\frac{1}{a^2})+(a+\frac{1}{a})-4=0$

замена $a+\frac{1}{a}=y$ даёт нам следующее уравнение:
$y^2+y-6=0$
по теореме Виета: $\left[\begin{array}{ccc}y_1+y_2=-1\\y_1*y_2=-6\end{array}\right\to\left[\begin{array}{ccc}y_1=-3\\y_2=2\end{array}\right$

обратная замена: $\left[\begin{array}{ccc}a+\frac{1}{a}=-3\\a+\frac{1}{a}=2\end{array}\right\to\left[\begin{array}{ccc}a^2+3a+1=0\\a^2-2a+1=0\end{array}\right$

1. $a^2+3a+1=0$
$D=9-4=5\\a_{1,2}=\frac{-3б\sqrt{5}}{2}\to\left[\begin{array}{ccc}a_1=-1,5+\frac{\sqrt{5}}{2}\\a_2=-1,5-\frac{\sqrt{5}}{2}\end{array}\right$

2. $a^2-2a+1=0$
$a=1$

обратная замена: $\left[\begin{array}{ccc}2^x=-1,5+\frac{\sqrt{5}}{2}\\2^x=-1,5-\frac{\sqrt{5}}{2}\\2^x=1\end{array}\right$

решаем: $\left[\begin{array}{ccc}x=log_2(-1,5+\frac{\sqrt{5}}{2})\\x=log_2(-1,5-\frac{\sqrt{5}}{2})\\x=0\end{array}\right$

заключительная проверка на то, не является ли показатель логарифмов отрицательным: $\left[\begin{array}{ccc}-1,5+\frac{\sqrt{5}}{2}\ \textgreater \ 0\\-1,5-\frac{\sqrt{5}}{2}\ \textgreater \ 0\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}-3+\sqrt{5}\ \textgreater \ 0\\-3-\sqrt{5}\ \textgreater \ 0\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}3\ \textless \ \sqrt{5}\\3+\sqrt{5}\ \textless \ 0\end{array}\right$
оба неравенства неверны, значит эти корни ложны, поскольку обращают показатель логарифма в не положительное число – исключаем корни.
Ответ: $x=0$

skvrttt_zn (23.5k баллов) 11 Май, 18