5+2sin2x-5cosx=5sinx

Question 1

Question 2

$5+2\sin 2x-5\cos x=5\sin x\\ 5(\sin ^2 x+\cos^2x)+2\sin 2x-5(\cos x+\sin x)=0 \\ 5(\sin^2x+\sin2x+\cos^2x-\sin 2x)-5(\cos x+\sin x)+2\sin 2x=0\\ 5(\sin x+\cos x)^2-5(\sin x+\cos x)-3\sin2x=0$

Пусть $\sin x+\cos x=t$ , причем $|t| \leq \sqrt{2}$ возведем обе части в квадрат:
$(\sin x+\cos x)^2=t^2$ отсюда: $\sin 2x=t^2-1$

Заменим:
$5t^2-5t-3(t^2-1)=0\\ 5t^2-5t-3t^2+3=0\\ 2t^2-5t+3=0$
Вычислим дискриминант квадратного корня:
$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot3=25-24=1$
$D\ \textgreater \ 0$ , значит квадратное уравнения имеет 2 корня:
$t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{5+1}{2\cdot2} = \dfrac{3}{2}$ - не принадлежит условию.
$t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{5-1}{2\cdot2} =1$

Обратная замена:
$\sin x+\cos x=1$
Воспользуемся формулой: $a\sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2}\sin(x\pm \arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} } )$
В данном случае:
$\sqrt{1^2+1^2} \sin(x+\arcsin \frac{1}{ \sqrt{1^2+1^2} } )=1\\ \sin(x+ \frac{\pi}{4} )= \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi k ,k \in \mathbb{Z}$

аноним · Answer 1 · 2018-05-11T16:23:18+0000

$5+2\sin 2x-5\cos x=5\sin x\\ 5(\sin ^2 x+\cos^2x)+2\sin 2x-5(\cos x+\sin x)=0 \\ 5(\sin^2x+\sin2x+\cos^2x-\sin 2x)-5(\cos x+\sin x)+2\sin 2x=0\\ 5(\sin x+\cos x)^2-5(\sin x+\cos x)-3\sin2x=0$

Пусть $\sin x+\cos x=t$ , причем $|t| \leq \sqrt{2}$ возведем обе части в квадрат:
$(\sin x+\cos x)^2=t^2$ отсюда: $\sin 2x=t^2-1$

Заменим:
$5t^2-5t-3(t^2-1)=0\\ 5t^2-5t-3t^2+3=0\\ 2t^2-5t+3=0$
Вычислим дискриминант квадратного корня:
$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot3=25-24=1$
$D\ \textgreater \ 0$ , значит квадратное уравнения имеет 2 корня:
$t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{5+1}{2\cdot2} = \dfrac{3}{2}$ - не принадлежит условию.
$t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{5-1}{2\cdot2} =1$

Обратная замена:
$\sin x+\cos x=1$
Воспользуемся формулой: $a\sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2}\sin(x\pm \arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} } )$
В данном случае:
$\sqrt{1^2+1^2} \sin(x+\arcsin \frac{1}{ \sqrt{1^2+1^2} } )=1\\ \sin(x+ \frac{\pi}{4} )= \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi k ,k \in \mathbb{Z}$