1. Теорема о трёх перпендикулярах: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
BD - медиана, но ΔABC - р/б ⇒ BD - высота
BK - наклонная
BD - проекция
BD ⊥ AC - высота ΔABC
⇒ BK ⊥ AC
2. Проекция AD = 3. Проведём перпендикуляр DH к плоскости из точки D. Тогда AH - проекция = 3
ΔADH - прямоугольный. По теореме Пифагора DH = √(36-9) = √27
Стоит заметить что BH является проекцией диагонали BD.
BH по теореме Пифагора из ΔADB = √72
ΔDBH - прямоугольный. По теореме Пифагора BH = √(72-27) = √45 = 3√5
3. Из данной точки (назовём её M) проведём перпендикуляр MH к плоскости α. По условию MH = a.
Опустим две наклонные MN и MK, тогда ∠MNH = 45°, ∠MKH = 45°, ∠NMK = 60°
Рассмотрим ΔKMH. Он прямоугольный (MN⊥α ⇒ MH⊥MK) и равнобедренный (∠MKH = ∠KMH = 45°) ⇒ KH = MH = a
Аналогично с ΔNMH: NM = MH = a.
ΔNHM = ΔKHM (по двум катетам)
Найдём NM по теореме Пифагора: √(a²+a²) = a√2
Теорема косинусов: a² = b² + c² - 2bc*cos a^b
NK² = NM² + KM² - 2*NM*MK*cos ∠NMK
NK² = 2a² + 2a² - 2 * a√2 * a√2 * 1/2
NK² = 4a² - 2a²
NK² = 2a²
NK = a√2
Также можно найти не через теорему косинусов, а из р/б ΔNMK найти углы MNK и MKN (60°) и доказать, что ΔNMK - р/ст ⇒ NK = NM = MK = a√2
4. Пусть точка K - середина BC.
BK = KC ⇒ AK - медиана.
ΔABC - прямоугольный ⇒ медиана в 2 раза меньше гипотенузы ⇒ AK = 1/2BC
Найдём BC по теореме Пифагора: √(9+16) = 5
AK = BC/2 = 2.5
MA ⊥ (ABC) ⇒ MA⊥AK ⇒ ΔMAK - прямоугольный
По теореме Пифагора находим MK:
MK = √(MA² + AK²) = √(1+6.25) = √7.25 = √(0.25*29) = 0.5√29