Вариант решения.
№. 243.
Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, параллельная его биссектриса АА1 и пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что АС=AD.
––––––––
По свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей ∠ВАА1=∠ADC как соответственные, ∠А1АС=∠АСD как накрестлежащие. Но ∠ВАА1=∠А1АС, т.к. биссектриса делит ∠А на два равных. ⇒∠АDC=∠ACD. Равенство углов при одной стороне - признак равнобедренного треугольника. ⇒АС=АD, ч.т.д.
№ 247.
На рисунке 130 АВ=АС, АР=AQ. Докажите, что:
а) треугольник ВОС – равнобедренный;
б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.
–––––––
а) ∆ АВС - равнобедренный, АВ=АС, АР=AQ, следовательно, ВР=СQ как вторые части равных сторон. В ∆ ВРС и ∆ СQВ стороны ВР=CQ, ВС - общая, и ∠РВС=∠QCB (равные углы при основании равнобедренного треугольника).
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.(1-й признак равенства треугольников) ⇒
При основании треугольника ВОС ∠ОВС=∠ОСВ, из чего следует, что ∆ ВОС - равнобедренный.
б)
В ∆ АВО и ∆ АОС стороны АВ=АС, ВО=ОС (доказано выше), АО - общая. ⇒ ∆ АВО=∆ АОС, ⇒углы при вершине А равны, и прямая, проходящая через О к основанию ВС – биссектриса равнобедренного ∆ АВС. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его высотой и медианой, поэтому прямая АО перпендикулярна к ВС и проходит через его середину. .