Y"-y=x найти общее решение диф.ур-ия,допускающего понижение порядка

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Пусть $y'=z$ , тогда $y''=z'$ . Подставляя в исходное уравнение, получим
$z'-z=x$
То есть, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Применим метод Бернулли
Пусть $z=uv$ , тогда $z'=u'v+uv'$ . Подставим
$uv'+u'v-uv=x\\ u(-v+v')+u'v=x$
Данный метод состоит из двух этапов:
1) Предполагаем, что $u(v'-v)=0$
$v'-v=0\\ v'=v$
Это есть уравнение с разделяющимися переменными. Переходя к дифференциалам.
$\dfrac{dv}{dx} =v$
$\dfrac{dv}{v} =dx$ - уравнение с разделёнными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения
$\displaystyle \int\limits { \frac{dv}{v} } = \int\limits {} \, dx \\ \ln|v|=x\\ v=e^{x}$
2) Поскольку, как мы предположили, что v' + v = 0, то получим уравнение
$u'v=x$
Зная v, находим функцию u.
$u'e^x=x\\ u'=xe^{-x}$
Интегрируя по частям, получаем
$u=-xe^{-x}-e^{-x}+C$
Найдем решение дифференциального уравнения, выполнив обратную замену.
$z=uv=Ce^x-x-1$
Снова обратная замена
$y'=Ce^{x}-x-1$
Интегрируя последнее уравнение, получаем
$y=C_1e^x- \frac{x^2}{2} -x+C_2$ - общее решение.

Ответ: $y=C_1e^x- \frac{x^2}{2} -x+C_2$

аноним 11 Май, 18