Lg^2(tg^2x)+lg(cos x)=lg(sinx)

ОДЗ: $tg^2x\ \textgreater \ 0;\ \sin x\ \textgreater \ 0;\ \cos x\ \textgreater \ 0 \Leftrightarrow x\in$ первой четверти.

$(2\lg tg x)^2=\lg \sin x -\lg \cos x;\ 4\lg^2tg x=\lg tg x;$

$\lg tg x(4\lg tg x-1)=0;\ \lg tg x=0\Rightarrow tg x=1; x=\frac{\pi}{4}+\pi n$ или

$\lg tg x=\frac{1}{4}\Rightarrow tg x=\sqrt[4]{10};\ x = arctg \sqrt[4]{10}+\pi n$

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ: $\frac{\pi}{4}+2\pi n; n\in Z;\ \ arctg\sqrt[4]{10}+2\pi n; n\in Z$

Замечание. При переходе от $\lg tg^2 x$ к $2\lg tg x$ мы не писали модуль у тангенса благодаря ОДЗ