Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни, или не имеющие корней.
Под одними и теми же корнями понимается следующее:
- если какое-то число является корнем одного уравнения, то оно является и корнем любого другого из этих равносильных уравнений, и
- ни одно из равносильных уравнений не может иметь корня, который не является корнем любого другого уравнения.
1) Пример:
Три уравнения
4·x=8,
2·x=4 и
x=2
– равносильные, т. к. каждое из них имеет единственный корень 2, поэтому они равносильны по определению.
2) Пример:
равносильными являются два уравнения
x·0=0 и
2+x=x+2,
множества их решений совпадают:
корнем и первого и второго из них является любое число.
3) Пример: Два уравнения
x=x+5 и
x4=−1
также представляют собой пример равносильных уравнений на множестве действительных чисел, так как они оба не имеют действительных решений.
4) пример: Дано уравнение:
x^2 + bx + c = 0 ------------(1) -----> умножим на 3 =>
3x^2 + 3bx + 3c = 0 -------(2)
Уравнения (1) и (2) равносильные.