Рассмотрим такую последовательность: первые пять её членов равны 1, 2, 3, 4, 5. Каждый...

Question

Рассмотрим такую последовательность: первые пять её членов равны 1, 2, 3, 4, 5. Каждый следующий член последовательности, начиная с шестого, равен произведению всех предыдущих членов минус 1. Найдите разность между произведением первых 66 членов последовательности и суммой их квадратов.

Answer 1

Рассмотрим произвольное n > 5.
Пусть p(n) - произведение первых n членов последовательности. Тогда p(n) = p(n - 1) * (p(n - 1) - 1)
Пусть s(n) - сумма квадратов первых n членов последовательности. Тогда s(n) = s(n - 1) + (p(n - 1) - 1)^2

p(n) - s(n) = p(n - 1) * (p(n - 1) - 1) - s(n - 1) - (p(n - 1) - 1)^2 = p(n - 1)^2 - p(n - 1) - s(n - 1) - p(n - 1)^2 + 2p(n - 1) - 1 = p(n - 1) - s(n - 1) - 1

Итак, p(n) - s(n) уменьшается на 1 с ростом n на 1, значит,
p(n) - s(n) = p(5) - s(5) - (n - 5)

p(5) = 5! = 120
s(5) = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

p(n) - s(n) = 70 - n

p(66) - s(66) = 70 - 66 = 4