В правильный треугольник со стороной а вписана окружность. Найдите ее радиус.

Как известно, центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис. Так как наш треугольник равносторонний, то медианы и биссектрисы совпадают, а значит центр окружности делит каждую из них в отношении 2:1. Отсюда делаем вывод, что радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен трети медианы этого треугольника.

Найдем медиану. Так как треугольник равносторонний, то все углы равны 60°. Получаем, что синус любого из углов равен √3/2.
$\dfrac{h}{a}= \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \\ h= \dfrac{a \sqrt{3} }{2}$
значит
$r= \dfrac{1}{3}* \dfrac{a \sqrt{3} }{2}= \dfrac{a \sqrt{3} }{6}$

Ответ: $\dfrac{a \sqrt{3} }{6}$