Пусть угол A равен 2a, угол С равен 2с, тогда 60+2a+2с = 180 (градусов), то есть a+с = 60 (градусов). Пусть М и O - центр вписанной и описанной окружности
соответственно. Точка М лежит на пересечении биссектрис углов треугольника
ABC, поэтому угол AМC= 180 - (a+с) =
120 (градусов). Угол AOC - центральный, поэтому он в два раза
больше угла B, то есть равен 120 (градусов). Таким образом, углы AМC и AOC
равны. Значит, сторона AC видна из точек М и O под одним и
тем же углом, равным 120 (градусов). Следовательно, указанные точки A, C,
М и O лежат на одной окружности.