Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
x^2 dy = (xy - y^2) dx
x^2 dy/dx = (xy - y^2)dx
dy/dx = (xy - y^2)/x^2 dx
dy/dx = (y/x - (y/x)^2) dx
Замена
z = x/y ==> y = xz ==> y' = z+ xz'
z + xz' = z - z^2
xz' = - z^2
dz/dx * x = - z^2
dz/ (z^2) = - dx/x
- 1/z = - lnx
1/z = lnx + C
z = 1/(lnx + C) ==> обратная замена
y/x = 1/(lnx + C)
y = x/(lnx +C)
1 = 1/(ln1 + C)
1 = 1/(0 + C)
С = 1
Ответ
y = x/(lnx + 1)