Докажите что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся попалам

Question

Докажите что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся попалам

Answer 1

Пусть ВС и AD — диагонали параллелограмма AВDС (черт. 226). Докажем, что АО = OD и СО = ОВ. Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например  /\ AОВ и  /\ СОD.В этих треугольниках АВ = СD, как противоположные стороны параллелограмма;
 / 1 = / 2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и СD и секущей AD;
/ 3 = / 4 по той же причине, так как АВ || СD и СВ — их секущая .Отсюда следует, что  /\ AОВ =  /\ СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = ОВ.

Answer 2

Пусть О - точка пересечения диагоналей АС и ВD параллелограмма ABCD. Треугольники АОВ  и СОD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB=CD  как противоположные стороны параллелограмма, угол 1=углу 2, и угол3=углу4 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AC и BD соответственно.) Поэтому  AO=OC и OB=OD, что и требовалось доказать.