Решить уравнение x²/3 + 48/x² = 5(x/3 + 4/x).
Сделаем замену
х/3 + 4/х = t
Возведём в квадрат обе части получившегося уравнения:
(х/3 + 4/х)² = t²
(х/3)² + 2 · х/3 · 4/х + (4/х)² = t²
х²/9 + 8/3 + 16/х² = t²
Умножим обе части на 3:
х²/3 + 8 + 48/х² = 3t²
Перенесём 8 в правую часть:
х²/3 + 48/х² = 3t² - 8
Получили левую часть данного уравнения, которая выражена через t. Наше уравнение примет такой вид:
3t² - 8 = 5t
3t² - 5t - 8 = 0
D = b² - 4ac
D = 25 - 4 · 3 · (-8) = 25 + 96 = 121
√D = √121 = 11
t₁ = (5 + 11)/(2*3) = 16/6 = 8/3
t₂ = (5 - 11)/(2*3) = -6/6 = - 1
x/3 + 4/x = t
а) x/3 + 4/x = 8/3 при х≠ 0
x² + 12 - 8x = 0
х² - 8х + 12 = 0
D = 8² - 4 * 1 * 12 = 64-48 = 16
√D = √16 = 4
х₁ = (8 + 4)/2 = 12/2 = 6
х₂ = (8 - 4)/2 = 4/2 = 2
б) x/3 + 4/x = - 1 при х ≠ 0
x² + 12 = - 3x
х² + 3х + 12 = 0
D = 3² - 4 * 1 * 12 = 9 - 48 = - 39 - отриц, нет корней
Ответ: х₁ = 6; х₂ = 2.