При n = 1 равенство примет вид 2 = 2, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место
1*2 + 2*5 + 3*8 +....+n(3n-1) = n^2(n+1)
Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть
1*2 + 2*5 + 3*8 +....+n(3n-1) + (n + 1)(3n + 2)= (n+1)^2(n+2)
истинно. Поскольку (используется предположение индукции)
1*2 + 2*5 + 3*8 +....+n(3n-1) + (n + 1)(3n + 2) =n^2(n+1) + (n + 1)(3n + 2)
получим
n^2(n+1) + (n + 1)(3n + 2) = (n + 1) (n^2 + 3n + 2) = (n + 1 )(n + 1)(n + 2) =
= (n + 1)^2 (n + 2)
то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.