d-? - Все ответы

$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} * a_{n} \\ \\$

Выразим n член арифметической прогрессии:

$S = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} * a_{n} \\ \\ 2S = (a_{1} + a_{n})a_{n} \\ \\ 2S = a_{1}a_{n} + a^2_{n} \\ \\ \frac{a_{1}^2}{4} + a_{1}a_{n} + a_{n}^2 = \frac{a^2}{4} + 2S \\ \\ ( \frac{a_{1}}{2} + a_{n})^2 = \frac{a^2}{4} + 2S \\ \\ \frac{a_{1}}{2} + a_{n} = \sqrt{ \frac{a^2}{4} + 2S } \\ \\ a_{n} = \sqrt{ \frac{a^2}{4} + 2S } - \frac{a_{1}}{2}$

Ну или можно было бы просто найти корни, по формуле квадратного уравнения и чуть легче выразить, но я поступил по сложнее конечно.

Найдём его подставив в формулу: $a_{7} = \sqrt{ \frac{4}{4} + 420 } \ - \frac{2}{2} = \sqrt{421} - 1 \\ \\ a_{7} = \sqrt{421} - 1$

$a_{n} = a_{1} + d(n-1)$

$\sqrt{421} - 1 = 2 + 6d \\ \\ 6d = \sqrt{421} -1 -2 \\ \\ 6d = \sqrt{421} - 3 \\ \\ d = \frac{{ \sqrt{421} } - 3}{6}$

Ответ - $\frac{\sqrt{421}-3}{6}$

P.S, Сам удивился таким ответам, но по крайнее мере, я проверил с разность, увидел формулу 7 члена получилось то что получилось до этого. То есть сам 7 член действительно.