Вычислить двойной интеграл по области d (cos2x+siny)dxdy ограничены х=0 у=0 4x+4y-pi=0

Question 1

Question 2

Решите задачу:

$\int \int\limits^._D {(Cos2x+Siny)} \, dx dy= \int\limits^ \frac{ \pi}{4} _0 { } \, dx \int\limits^{\frac{ \pi}{4}-x}_0 {(Cos2x+Siny)} \, dy= \\= \int\limits^ \frac{ \pi}{4} _0 { [ yCos2x-Cosy]_0^{\frac{ \pi}{4}-x} } \, dx = \\ \int\limits^ \frac{ \pi}{4} _0 { [ ({\frac{ \pi}{4}-x} })Cos2x-Cos({\frac{ \pi}{4}-x} })- 0*Cos2x+Cos0]\, dx= \\ \int\limits^ \frac{ \pi}{4} _0 { [ \frac{ \pi}{4} Cos2x-xCos2x- Cos \frac{ \pi}{4}Cosx+Sin\frac{ \pi}{4}Sinx+1 ]\, dx=$ $\\ \int\limits^ \frac{ \pi}{4} _0 { [ \frac{ \pi}{4} Cos2x-xCos2x- \frac{ \sqrt{2} }{2} Cosx+ \frac{ \sqrt{2} }{2} Sinx+1 ]\, dx$ $=[\frac{ \pi}{8} Sin2x- \frac{ \sqrt{2} }{2} Sinx-\frac{ \sqrt{2} }{2} Cosx+x]_0^{ \frac{ \pi}{4}}- \int\limits^{ \frac{ \pi}{4}}_0 {xCos2x} \, dx = \\$ $[\frac{ \pi}{8} Sin \frac{ \pi}{2}- \frac{ \sqrt{2} }{2} Sin \frac{ \pi}{4}-\frac{ \sqrt{2} }{2} Cos \frac{ \pi}{4}+ \frac{ \pi}{4}]- \\ - [\frac{ \pi}{8} Sin0- \frac{ \sqrt{2} }{2} Sin0-\frac{ \sqrt{2} }{2} Cos0+0]- \frac{1}{2} \int\limits^ \frac{ \pi }{4}_0 {x} \, d(Sin2x) = \\ = \frac{3 \pi}{8} -1+\frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{x}{2}Sin2x|_0^{ \frac{ \pi }{4}}+ \frac{1}{2}\int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_0 {Sin2x} \, dx =$
$= \frac{3 \pi}{8} -1+\frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \pi }{8}Sin \frac{ \pi }{2}+0Sin0- \frac{1}{4} Cos2x|_0^{ \frac{ \pi }{4} }= \\ \frac{3 \pi}{8} -1+\frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \pi }{8}- \frac{1}{4} Cos \frac{ \pi}{2}+ \frac{1}{4} Cos0= \\ = \frac{3 \pi}{8} -1+\frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \pi }{8}+ \frac{1}{4}= \frac{ \pi }{4}- \frac{3}{4}+\frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \pi -3+2 \sqrt{2} }{4}$