Решить дифференциальное уравнение xy'+2xy-1=0

Question 1

Решить дифференциальное уравнение
xy'+2xy-1=0

Question 2

Разделим обе части уравнения на x
$y'+2y= \frac{1}{x}$
Это дифференциальное уравнение первого порядка, линейное и неоднородное.
Пусть $y=uv$ тогда $y'=u'v+uv'$
$u(2v+v') + u'v= \frac{1}{x}$

1) предполагаем что первое слагаемое равен нулю
$2v+v'=0$
А это уравнение с разделяющимися переменными, то есть, проинтегрируем обе части уравнения, получим
$v=e^{-2x}$

2) $\displaystyle u'v=\frac{1}{x}\\ u'e^{-2x}=\frac{1}{x}\\ \\ u= \int\limits {\frac{e^{2x}}{x}} \, dx +C$

Обратная замена

$\displaystyle y=uv=e^{-2x}\bigg(\int\limits {\frac{e^{2x}}{x}} \, dx +C\bigg)$

аноним · Answer 1 · 2018-05-13T15:21:11+0000

Разделим обе части уравнения на x
$y'+2y= \frac{1}{x}$
Это дифференциальное уравнение первого порядка, линейное и неоднородное.
Пусть $y=uv$ тогда $y'=u'v+uv'$
$u(2v+v') + u'v= \frac{1}{x}$

1) предполагаем что первое слагаемое равен нулю
$2v+v'=0$
А это уравнение с разделяющимися переменными, то есть, проинтегрируем обе части уравнения, получим
$v=e^{-2x}$

2) $\displaystyle u'v=\frac{1}{x}\\ u'e^{-2x}=\frac{1}{x}\\ \\ u= \int\limits {\frac{e^{2x}}{x}} \, dx +C$

Обратная замена

$\displaystyle y=uv=e^{-2x}\bigg(\int\limits {\frac{e^{2x}}{x}} \, dx +C\bigg)$