Метод интервалов - самый простой метод решения неравенств.
У нас есть особые точки, в которых скобки превращаются в 0.
а) (x - 4)(x + 7) < 0
x1 = 4; x2 = -7. Они разбивают числовую прямую на промежутки:
(-oo; -7); (-7; 4); (4; +oo)
Берем любое число, кроме особых, например, 0, и подставляем
(0 - 4)(0 + 7) = (-4)*7 < 0 - верно.
Даже не надо вычислять результат, главное, понять, какой знак.
Значит, промежуток, содержащий 0, то есть (-7; 4) - это решение.
Другие решения находятся через одно, но у нас их нет.
Ответ: (-7; 4)
б) Тут тоже самое, поэтому я кратко.
(x - 8) / (x + 3) > 0
Особые точки: x1 = -3; x2 = 8. Подставляем 0:
(0 - 8) / (0 + 3) = -8/3 < 0 - не верно.
Промежуток (-3; 8), содержащий 0, не подходит.
Значит, подходят соседние промежутки.
Ответ: (-oo; -3) U (8; +oo)
в) x^3 - 49x > 0
Здесь сначала надо разложить на множители.
x^3 - 49x = x(x^2 - 49) = x(x + 7)(x - 7) > 0
Особые точки: x1 = -7; x2 = 0; x3 = 7. Подставляем 1:
1 - 49*1 < 0 - не верно.
Промежуток (0; 7) не подходит. Подходят соседние промежутки.
Ответ: (-7; 0) U (7; +oo)