Найдите сумму корней уравнения √(1-cosx) =sinx при x ∈ [ π ; 3π] .
-------------------
√(1-cosx) =sinx ⇔(равносильно системе) { sinx ≥ 0 ; 1 - cosx = sin²x .
Имеет решения ,если sinx ≥ 0 , т.е. если 2πn ≤ x ≤ π +2πn , n ∈ Z
{ sinx ≥ 0 ; 1 - cosx = sin²x .
1 - cosx = 1 - cos² x
1 - cosx = (1-cos x)(1 +cosx) ;
(1-cos x) -(1 -cosx) (1+ cosx) =0 ;
(1-cos x)(1 -(1 -cosx) ) =0 ;
- cosx*(1 -cosx) =0 ; ⇔ [ cosx =0 ; 1 -cosx =0 .
a)
cosx =0 ⇔ sinx =± 1 , но учитывая sinx ≥ 0
sinx =1
x =π/2 +2πn , n ∈ Z из этой серии только x =π/2 +2π = 2,5π ∈ [ π ; 3π ] .
---
b)
1 -cosx = 0;
cosx =1 ; * * * cosx =1 ⇒
sinx =0 * * *
x =2πn , n ∈ Z из этой серии только x =2π ∈ [ π ; 3π ] .
ответ : сумма корней уравнения будет 2π +2,5π = 4,5π .