Решите дифференциальное уравнение

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Классификация: дифференциальное уравнение второго порядка, линейное неоднородное со специальной правой части(относится к первому виду)
Нам нужно найти: Уо.н. = Уо.о. + Уч.н.
Найдем решение однородного уравнения:
$y''-4y'=0$
Пользуясь методом Эйлера $y=e^{kx}$ , имеем характеристическое уравнение:
$k^2-4k=0\\ k(k-4)=0\\ k_1=0\\ k_2=4$

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
$y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{4x}+C_2e^{0x}=C_1e^{4x}+C_2$

Теперь нужно найти частное решение:
Уч.н.:
Положим $f(x)=e^{0x}(6x^2+1);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, f(x)=e^{\alpha x}P_n(x)$
Где $P_n(x)$ - многочлен степени x
$\alpha=0;\,\,\,\, P_n(x)=6x^2+1;\,\,\,\, n=2$
Сравнивая $\alpha$ c корнями характеристическому уравнению и, принимая во внимания, что $n=2$ частное решение будем искать в виде:
$Y_{4.H.}=x(Ax^2+Bx+C)$
Найдем производные
$y'=(Ax^2+Bx+C)'=3Ax^2+2Bx+C\\ y''=(3Ax^2+2Bx+C)'=6Ax+2B$

Подставим в исходное уравнение
$6Ax+2B-4(3Ax^2+2Bx+C)=6x^2+1\\ 6Ax+2B-12Ax^2-8Bx-4C=6x^2+1\\ -12Ax^2+x(6A-8B)+2B-4C=6x^2+1$
Приравниваем коэффициенты при степенях х
$-12A=6\\ 6A-8B=0\\ 2B-4C=1$
Решая систему уравнений

$A=- \frac{1}{2} ;\\ B= \frac{6A}{8} = \frac{3A}{4} =- \frac{3}{8} \\ \\ C=- \frac{7}{16}$

Тогда общее частное решение будет иметь вид:
$Y_{4.H.}=- \dfrac{x^3}{3} -\dfrac{x^2}{8} -\dfrac{7x}{16}$

$Y_{O.H.}=C_1e^{4x}+C_2-\dfrac{x^3}{3} -\dfrac{x^2}{8} -\dfrac{7x}{16}$ - решение исходного уравнения

Но мы не полностью решили) Осталось найти решение задачи Коши.
Начальные условия: $y(0)=2;\,\,\,\, y'(0)=3$
$y(0)=2\\ C_1+C_2=2$

$y'=(C_1e^{4x}+C_2-\dfrac{x^3}{3} -\dfrac{x^2}{8} -\dfrac{7x}{16} )'=4C_1e^{4x}-x^2- \dfrac{x}{4} - \dfrac{7}{16} \\ \\ y'(0)=3\\ \\ 3=4C_1- \dfrac{7}{16}$

Решая систему уравнений
$\displaystyle \left \{ {{3=4C_1- \dfrac{7}{16} } \atop {C_1+C_2=2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{C_1= \dfrac{55}{64} } \atop {C_2=\dfrac{73}{64}}} \right.$

$\boxed{Y_{O.H.}=\dfrac{55}{64}e^{4x}+\dfrac{73}{64}-\dfrac{x^3}{3} -\dfrac{x^2}{8} -\dfrac{7x}{16}}$

аноним 14 Май, 18