1.
На интервале (-1 ; 5) точка максимума x =3 , т.к. f '(3) =0 и производная меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку .
ответ : 3.
-------
2.
Найдите наибольшее значение функции y =2cosx -(18/π)*x +1 на отрезке x ∈ [ -2π/3 ; 0 ]
-------
y ' =( 2cosx -(18/π)*x +1) ' = -2sinx - 18/π.
* * *( 2cosx )'-( (18/π)*x) ' +1 ' =2*(cosx )' - (18/π)*(x)' +0= -2sinx -18/π . * * *
y ' = 0 ;
-2sinx - 18/π = 0 ;
sinx = -9 /π < -1 не имеет решения → нет точки экстреммов.
если x = -2π/3
y =2cos(-2π/3) -(18/π)*(-2π/3) +1 =2cos2π/3 +12+1 =2cos(π -π/3) +12+1=
-2cosπ/3 ++12+1 = -2*(1/2) +12+1 =12.
если x = 0
y =2cos0 -(18/π)*0 +1 = 2+1 =3 .
ответ : 12.
-------
3.
Составьте уравнения касательной к графику функции f(x) =4√x в точке с абсциссой x₀ =4.
---
Уравнения касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀ имеет вид: y = f ' (x₀) *(x -x₀) + f(x₀)
f(x₀)= f(4) =4√4 =4*2 =8 ;
f '(x) = (4√x) ' =2/√x
f '(x₀)=f '(4) =2/√4 =2/2 =1.
y = 1(x -4) + 8 =x +4
ответ : y = x + 4 .
-------
4.
Вычислите f '(π/3) , если f(x) =1,5x² +6sinx -πx +4 .
---------
f '(x) =(1,5x² +6sinx -πx +4) ' =3x +6cosx - π +0 .
f '(π/3) =3*(π/3) +6cos(π/3) - π = π +6*1/2 - - π =3.
ответ : f '(π/3) = 3.
-------
5.
Найдите все значения x, при которых выполняется равенство f '(x) =0 , если f (x) = sin2x +x .
---
f' (x) = (sin2x +x ) ' =((sin2x )' +(x)' = cos2x*(2x)' +1 =2cos2x +1 .
f '(x) =0 ⇔2cos2x +1 =0 ⇔
cos2x = -1/2 ;
2x = ±
2π/3 +2π*n , n ∈ Z ;
x = ± π/3 +π*n , n ∈ Z .
ответ : x = ± π/3 +π*n , n ∈ Z .
* * * * * * * * * * * * * * * * * *
Удачи !