Методы решения тригонометрических уравнений . Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов : преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения . Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений . 1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры ( метод замены переменной и подстановки ). 2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах . П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 . Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево : sin x + cos x – 1 = 0 , преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения : П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1. Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 , sin x · cos x – sin 2 x = 0 , sin x · ( cos x – sin x ) = 0 , П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x , 2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x , cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 , cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 , 1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 , 3. Приведение к однородному уравнению . Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение , надо: а) перенести все его члены в левую часть ; б) вынести все общие множители за скобки ; в) приравнять все множители и скобки нулю ; г) скобки, приравненные нулю , дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 , корни этого уравнения : y1 = -1, y2 = -3, отсюда 1) tan x = –1, 2) tan x = –3, 4. Переход к половинному углу . Рассмотрим этот метод на примере : П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7. Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) = = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) , 2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 , tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 , .5. Введение вспомогательного угла . Рассмотрим уравнение вида: a sin x + b cos x = c , где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное. Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид: 6. Преобразование произведения в сумму . Здесь используются соответствующие формулы. П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x. Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму : cos 4x – cos 8x = cos 4x , cos 8x = 0 , 8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8 . 7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере . П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 . Таким образом, решение даёт только первый случай.