Требуется найти количество корней на промежутке от (0; 2π)
√2 · sin x/2 = - sin x
√2 · sin x/2 = - 2 sin x/2 · cos x/2
sin x/2 (√2 + 2 cos x/2) = 0
1) sin x/2 = 0 → x/2 = πk → x = 2πk
Подставим координаты концов интервала
0 = 2πk → k = 0
2π = 2πk → k = 1
между 0 и1 нет целых чисел, поэтому на промежутке (0; 2π) решений
x = 2πk нет.
2) √2 + 2 cos x/2 = 0
cos x/2 = - √2 / 2
получаем два решения
х/2 = 3π/4 + 2πk → x = 3π/2 + 4πk
x/2 = -3π/4 + 2πk → x = - 3π/2 + 4πk
подставим координаты концов интервала в 1-е решение
0 = 3π/2 + 4πk → -3/2 = 4k → k = -3/8
2π = 3π/2 + 4πk → 1/2 = 4k → k = 1/8
между -3/8 и 1/8 есть одно целое число k = 0
Следовательно, есть одно решение: x = 3π/2
подставим координаты концов интервала во 2-е решение
0 = - 3π/2 + 4πk → 3/2 = 4k → k = 3/8
2π = - 3π/2 + 4πk → 7/2 = 4k → k = 7/8
между 3/8 и 7/8 нет целых чисел k
Следовательно, на промежутке (0; 2π) нет решений x = - 3π/2 + 4πk
Ответ: на промежутке х∈(0; 2π) есть только одно решение х = 3π/2
Ответ: b)