Решите пожалуйста в розовой рамочке с объяснениям

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

В первом задании нужно просто воспользоваться таблицей значений и не забыть о том, что arccos(-a) = Pi - arccos(a)
$arccos1 + arcsin0 = 0+ 0 = 0 \\ arccos(- \frac{1}{2} )-arcsin \frac{ \sqrt{3} }{2} = \pi -arccos(\frac{1}{2} )-arcsin \frac{ \sqrt{3} }{2} = \pi - \frac{ \pi }{3} - \frac{ \pi }{3} = \frac{ \pi }{3}$

===================
1. Воспользуемся формулой синус разности аргументов, тогда:
$sin3xcosx-sinxcos3x=1 \\ sin(3x-x)=1 \\ sin2x=1 \\ 2x=(-1)^{k}arcsin1 + \pi k, k \in Z \\ 2x = (-1)^{k} \frac{ \pi}{2} + \pi k, k \in Z \\ x = (-1)^{k} \frac{ \pi}{4} + \frac{ \pi k}{2} , k \in Z$

2. Воспользуемся заменой cosx=t, -1<= t <= 1<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2+cos%5E%7B2%7Dx%2B5cosx%3D3+%5C%5C+2t%5E%7B2%7D%2B5t-3%3D0+%5C%5C+D+%3D+25-4-2%2A%28-3%29+%3D+25%2B24+%3D+49+%5C%5C+t_%7B1%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C++++t_%7B2%7D%3D+-3+%5Cnotin+%5B-1%3B1%5D+%5C%5C+cosx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5C%5Cx+%3D+%5Cpm+arccos%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2B+2+%5Cpi+k%2C+k+in+Z%5C%5Cx+%3D+%5Cpm++%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B3%7D++%2B+2+%5Cpi+k%2C+k+in+Z%5C%5C%0A+" id="TexFormula3" title="2 cos^{2}x+5cosx=3 \\ 2t^{2}+5t-3=0 \\ D = 25-4-2*(-3) = 25+24 = 49 \\ t_{1}= \frac{1}{2}, t_{2}= -3 \notin [-1;1] \\ cosx=\frac{1}{2} \\x = \pm arccos\frac{1}{2} + 2 \pi k, k in Z\\x = \pm \frac{ \pi }{3} + 2 \pi k, k in Z\\ " alt="2 cos^{2}x+5cosx=3 \\ 2t^{2}+5t-3=0 \\ D = 25-4-2*(-3) = 25+24 = 49 \\ t_{1}= \frac{1}{2}, t_{2}= -3 \notin [-1;1] \\ cosx=\frac{1}{2} \\x = \pm arccos\frac{1}{2} + 2 \pi k, k in Z\\x = \pm \frac{ \pi }{3} + 2 \pi k, k in Z\\ " align="absmiddle" class="latex-formula">

3. Нужно воспользоваться свойством ctgx = 1/tgx
$tgx-3ctgx=0 \\ tgx - \frac{3}{tgx}=0 \\ \frac{tg^2x-3}{tgx}=0 \\ tg^2x-3 = 0, tgx \neq 0, x \neq \pi k, k \in Z \\ tgx=\pm \sqrt{3} \\ tgx= \sqrt{3} \\ x = \frac{ \pi }{3} + \pi n, n \in Z \\ tgx=- \sqrt{3} \\ x = -\frac{ \pi }{3} + \pi m, m \in Z \\$

4. Нужно воспользоваться формулой для разности синусов
$sin3x-sinx=0 \\ 2sinxcos2x=0 \\ sinx=0, x= \pi n, n \in Z \\ cos2x=0, 2x = \frac{ \pi }{2}+2 \pi k, k \in Z, \\ x = \frac{ \pi }{4}+4 \pi k, k \in Z$

5. Необходимо разложить синус двойного угла
$2sinx+sin2x=0 \\ 2sinx + 2sinxcosx=0 2sinx(1+cosx)=0 \\ sinx=0, x= \pi n, n \in Z \\ 1+cosx=0 \\ cosx=-1 \\ x = \pm arrcos(-1) + 2 \pi k, k \in Z \\ x = \pm ( \pi - arrcos1) + 2 \pi k, k \in Z \\ x = \pm \pi + 2 \pi k, k \in Z \\$

paradiseva_zn (39.4k баллов) 14 Май, 18