Как найти синус 18 градусов

Question

Как найти синус 18 градусов

Answer 1

Task/24957029
Как найти синус 18 градусов
-------
sin18° = sin2*18°/2cos18° = sin36°/2cos18° = cos54° / 2cos18° =               cos3*18° / 2cos18° = cos18°(1- 4sin²18°)  / 2cos18° = (1 - 4sin²18°) /2 .
4sin²18° +2sin18° - 1 =0   * * * кв.  уравнение относительно sin18°   * * *
sin18° =( -1 ±√5) /4        * * * но sin18° >0  * * *  

ответ :  sin18° =( √5 -1) /4 .
* * * * * * * * P.S.  * * * * * * * * 
sin2α =2sinα*cosα⇔sinα =sin2α/cosα ;  cos2α = cos²α - sin²α =1 -2sin²α ;
sinα= cos(90° - α) ⇒ sin36° = cos(90° - 36°) =cos54° =cos3*18°;
cos3α=cos(α+2α) =cosα*cos2α -sinα*sin2α =cosα*(1-2sin²α) -2sin²α*cosα        =cosα(1 - 4sin²α) .

Comments

4sin²18° =2sin 18°·sin 36°/cos18° = (cos 18° – cos54°)/cos18= 1 –sin 36°/cos18° = 1 – 2sin 18°.
Таким образом : 4sin²18° + 2 sin 18° – 1 = 0.

Answer 2

Постараться выразить его через известные значения функций))
или решить уравнение четвертой степени...
sin(18°) = cos(72°) = cos(2*36°) = 1-2sin²(36°) = 1-2(2sin(18°)*cos(18°))²
sin(18°) = 1-8sin²(18°)*cos²(18°) = 1-8sin²(18°)*(1-sin²(18°))
0 = 1-sin(18°) - 8sin²(18°)*(1-sin(18°))*(1+sin(18°))
0 = (1-sin(18°))*(1 - 8sin²(18°)*(1+sin(18°)))
sin(18°) ≠ 1
8sin²(18°)*(1+sin(18°)) - 1 = 0
8sin³(18°) + 8sin²(18°) - 1 = 0
кубическое уравнение...нацело делится на (sin(18°) + 0.5)
sin(18°) ≠ -0.5
остается квадратное уравнение:
4sin²(18°) + 2sin(18°) - 1 = 0 
D=4+16 = (2√5)²
sin(18°) ≠ (-2-2√5) / 8 = -(1+√5) / 4
синус в первой четверти положителен))
sin(18°) = (-2+2√5) / 8 = (-1+√5) / 4 = (√5 - 1) / 4