Не могу понять как решить эту систему уравнений. Может кто поможет пожалуйста)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Домножим первое уравнение на -1, а затем сложим со вторым:

$\left \{ {{- x^{2} - y^{2} = -26} \atop { (x-6)^{2} + (y-3)^{2} = 29}} \right. \\ \left \{ {{ (x-6)^{2} - x^{2} + (y-3)^{2} - y^{2} = 3} \atop {- x^{2} - y^{2}=-26 }} \right. \\ \left \{ {{(x-6-x)(x-6+x) + (y-3-y)(y-3+y) = 3} \atop {- x^{2} - y^{2} =-26}} \right. \\ \left \{ {{-6(2x-6)-3(2y-3) = 3} \atop {- x^{2} - y^{2}=-26 }} \right. \\$

Далее продолжаем:

$\left \{ {{2(2x-6) + 2y-3 = -1} \atop {- x^{2} - y^{2} = -26}} \right.$

Получили более простую систему. Сначала первое уравнение разделим ещё на 2, а затем из первого уравнения выразим y:
$\left \{ {{2x - 6 + y = 1} \atop {- x^{2} - y^{2} = -26 }} \right. \\ \left \{ {{y = 7 - 2x} \atop {- x^{2} - (7-2x)^{2} = -26}} \right.$

Здесь я использовал метод исключения y из второго уравнения.
Теперь выписываем его и решаем:

$- x^{2} - (7-2x)^{2} = -26 \\ x^{2} + 49 - 28x + 4 x^{2} = 26 \\ 5 x^{2} - 28x + 23 = 0$
$D = 28^{2} - 4 * 5 * 23 = 4( 7^{2} * 4 - 5 * 23) = 4(196 - 115) = 4 * 81$

$x_{1} = \frac{28 - 18}{10} = 1 \\ x_{2} = \frac{28 + 18}{10} = 4,6$

Теперь из первого уравнения найдём y:
$y_{1} = 7-2 x_{1} = 7 - 2 * 1 = 5 \\ y_{2} = 7 - 2 x_{2} = 7 - 2 * 4,6 = 7 - 9,2 = -2,2$

Таким образом, решением системы служат две пары: $(1,5)$ и $(4,6; -2,2)$

Стоит отметить, что систему можно было бы решить и графически, поскольку легко видеть, что каждое уравнение задаёт окружность. Но вот с определением точек возникли бы проблемы, поэтому, на мой взгляд, лучше использовать здесь аналитическое решение.

Kulakca_zn (6.8k баллов) 14 Май, 18