Найдите все действенные решения системы. x²+3=√3 IxyI 4-y²=(2x-√3 y)² Пожалуйста,...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Рассмотрим первое уравнение системы. Перепишем его таким образом:

$|x|^{2} - \sqrt{3} |y||x| + 3 = 0$
Здесь я использовал то, что $|xy| = |x||y|$ (то есть модуль произведения равен произведению модулей), а $x^{2} = |x|^{2}$ (достаточно очевидно).

Это квадратное уравнение относительно |x|, при этом y считаем некоторым переменным коэффициентом. Найдём его дискриминант:

$D = 3 |y|^{2} - 4 * 3 = 3 y^{2} - 12 = 3( y^{2} - 4)$
Очевидно, если $D \ \textless \ 0$ , то решений это квадратное уравнение не имеет. А потому нет решений у исходной системы.

Следовательно, $D \geq 0$ .
1)Пусть сначала $D \ \textgreater \ 0 \\ 3( y^{2} -4) \ \textgreater \ 0 \\ y^{2} -4 \ \textgreater \ 0 \\ |y| \ \textgreater \ 2$ .
Но этот случай невозможен.

Из второго уравнения системы(в силу того, что $(2x- \sqrt{3}x) ^{2} \geq 0$ ) следует, что и $4- y^{2} \geq 0$ .
Но при $|y| \ \textgreater \ 2$ , очевидно, $4 - y^{2} \ \textless \ 0$ . Следовательно, в этом случае второе уравнение не имеет решений.

2)Осталось лишь рассмотреть случай, когда $|y| = 2$ , то есть, $y = +-2$ .

      а) $y = 2$ . Тогда из второго уравнения системы находим x:
           $2x - 2 \sqrt{3} = 0 \\ x = \sqrt{3}$
Проверяем его, удовлетворяет ли он первому уравнению:
       $( \sqrt{3}) ^{2} + 3 = \sqrt{3} |2 \sqrt{3} | \\ 6 = 2 * 3 = 6$ - верно.

      б) $y = -2$ . Тогда
          $2x - \sqrt{3} (-2) = 0 \\ 2x = -2 \sqrt{3} \\ x = - \sqrt{3}$
      Теперь проверяем:
      $(- \sqrt{3} ) ^{2} + 3 = \sqrt{3} |(-2)(- \sqrt{3} )| \\ 6 = 6$ - верно.

Следовательно, решением системы служат две пары чисел:
$(\sqrt{3},2)$ и $(- \sqrt{3},-2)$

Kulakca_zn (6.8k баллов) 14 Май, 18