Решить уравнение

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$\displaystyle \sqrt{x+1}+ \sqrt{x+4}= \sqrt{2x}+ \sqrt{2x+9}$

ОДЗ:

$\left \{ {{x \geq -1; x \geq -4} \atop {x \geq 0; x \geq -9/2}} \right.$

$\displaystyle [0;+oo)$

Воспользуемся свойством монотонности функций

$\displaystyle \sqrt{x+1}$ - возрастающая
$\displaystyle \sqrt{x+4}$ - возрастающая

Их сумма тоже возрастающая функция

аналогично в правой части равенства возрастающая функция

т.е. обе функции монотонно возрастают. Но этого не достаточно чтобы точно определить что у них нет больше точек пересечения.
Нужно посмотреть с какой "скоростью" они возрастают. Если на всем множестве допустимых значений одна функция возрастает быстрее другой то тогда точек пересечения у них не будет .

Для этого найдем производные этих сумм. ( Производная - как раз и показывает скорость возрастания функции)

Найдем производную левой части уравнения:

$\displaystyle (\sqrt{x+1}+ \sqrt{x+4})`= \frac{1}{2 \sqrt{x+1}}+ \frac{1}{2 \sqrt{x+4}} = \frac{1}{ \sqrt{4x+4}}+ \frac{1}{ \sqrt{4x+16}}$

Найдем производную правой части

$\displaystyle ( \sqrt{2x}+ \sqrt{2x+9})`= \frac{2}{2 \sqrt{2x}}+ \frac{2}{2 \sqrt{2x+9}}= \frac{1}{ \sqrt{2x}}+ \frac{1}{ \sqrt{2x+9}}$

Сравним наши производные:
$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{4x+4}} + \frac{1}{ \sqrt{4x+16}} ? \frac{1}{ \sqrt{2x}}+ \frac{1}{ \sqrt{2x+9}}$

Мы видим что:
$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{4x+4}}\ \textless \ \frac{1}{ \sqrt{2x}}$

$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{4x+16}}\ \textless \ \frac{1}{ \sqrt{2x+9}}$
А значит первая сумма будет меньше чем вторая на промежутке (0;+oo)
Значит скорость возрастания правого выражения больше чем левого, значит на промежутке от (0;+oo) точек пересечения нет

то если и есть точка пересечения то она только одна и при х=0

Проверим:
Очевидно что при х=0 равенство выполняется

$\displaystyle \sqrt{0+1}+ \sqrt{0+4}= \sqrt{2*0}+ \sqrt{2*0+9} \sqrt{1}+ \sqrt{4}= \sqrt{9} 1+2=3$

Значит единственным решением будет х=0

hote_zn (72.1k баллов) 14 Май, 18