Решите, пожалуйста.

Question

Решите, пожалуйста.

---

Comments

cos66° или cos68°

---

Ответ данного примера не может быть выражен действительным числом, так как при преобразовании выражения, в любом случае, кроме косинуса 66 градусов (который может быть выражен в радикалах), остаётся тригонометрическая функция целого угла, не кратного трём. Поэтому ответ будет, так сказать, "некрасивый", содержащий тригонометрические функции.

---

Что означает " Ответ данного примера не может быть выражен действительным числом " ?

---

cos22°*cos68° / cos46° = cos22°*cos68° / sin44° = cos22°*cos68°/ 2sin22°*cos22° =1/2

---

Неправильно вначале выразила мысль: ответ не может быть выражен в действительных корнях (в смысле - радикалах). Получается парадокс: число действительное, но выразить можно через корни комплексных чисел. Далее, кстати, пояснила, что имела в виду: всегда останется тригонометрическая функция некоторого угла, которую нельзя записать при помощи числа без тригонометрической функции на области действительных чисел)))

---

Там 66 градусов. Если 68 - пример становится простым. Давайте порассуждаем про 66.

---

Вот я и думаю, что автор задачи просто ошибся - там должно быть 68 градусов.

Answer 1

Cos(66°) = sin(24°)=sin(2*180°/15) = sin(2pi/15)
cos(46°) = sin(44°) = 2sin(22°)*cos(22°)
Подставляем

В общем, это действительно не выражается в радикалах.
Значение этой дроби можно посчитать на калькуляторе или посмотреть в таблицах Брадиса, оно примерно равно 0,542885.

Comments

В чем разница между cos66° / 2sin22° = (cos11π/30) / 2sin22° и sin2π/15/2sin22° ? || cos11π/30 =sin(π/2 -11π/30) =sin2π/15 ||

---

Никакой разницы на самом деле, все равно угол 22 градуса все портит.

---

просто так " ... не выражается в радикалах." _неубедительно

---

Еще в 18 - 19 веке при разработке методов решения уравнений высших степеней Абель и Руффини доказали удивительную теорему: решение уравнений степени 5 и выше в общем случае невыразимо в радикалах. То есть эти корни можно найти только приближенно, численными методами.

---

Поищите "Теорема Абеля - Руффини", даже в Вики более подробно написано. То есть реально есть действительные числа, которые нельзя выразить никакими корнями никаких степеней.

---

Более подробно можно посмотреть в следующих источниках: А. Скопенков «Разрешимость или неразрешимость уравнений в радикалах».
В. Алексеев «Теорема Абеля».
Михалев А. В. МГУ, лекция №22.

---

«Теорема Абеля» я знал еще в школе. Меня интересует другое ; как все это доступно объяснить задающему (10 - 11 классы) , а не объявить, что именно это число относится к множеству тех действительных чисел, которые нельзя выразить никакими корнями никаких степеней. Например что мешает объявить (ложное) "sin18° .....тоже такое число" А за информ. Михалев А. В. МГУ, лекция №22 спасибо (открыл) .

---

Если угол в градусах делится на 3, то его синус и косинус можно выразить, причем только через квадратные корни.