Трапеция A E F P ( E F ∥ A P ) расположена в квадрате A B C D со стороной 3 так, что точки E , F и P лежат на сторонах A B , B C и C D соответственно. Диагонали A F и P E трапеции перпендикулярны друг другу, B F = 1 . Найти периметр трапеции.
у четырехугольника диагонали перпендикулярны когда суммы квадратов противоположных сторон равны
у таких четырехугольников средние линии равны
как думаете-трапеция равнобедренная?
да и диагонали образуют два треугольника с коэффициентом подобия 3
диагонали равны корень из 10
тогда периметр 8корней из 5
Почему трапеция равнобедренная?
Площади треугольников, образованные диагоналями боковыми сторонами EOA и FOP равны, эти прямоугольные треугольники и учитывая коэффициент подобия их сторон может быть их равенство их площадей только в случае равенства их сторон соответствующих, в том числе и EA и FP
Можно, цельное, итоговое решение.
На чертеже видно, что треугольники EBF и APD подобны с коэффициентом 3.( BF=1,AD=3) Значит и треугольники EFO AOP тоже подобны с этим же коэффициентом. AF=√3^2+1^2=√10 OF=AF/4=√10/4=EO треугольник EFO прямоугольный и равнобедренный. EF^2=(√10/4)^2+(√10/4)^2=10/8 EF=√5/2 AP=3*√5/2 EF+AP=4√5 так как средние линии у четырехугольников с перпендикулярными диагоналями равны, получаем периметр трапеции 2*4√5=8√5
Можно по подробнее почему EFB и APD подобны?
Почему EFO прямоугольный и равнобедренный?
Почему OF=1\4 AF, хотя отношение треугольников 3
На первый и третий вопрос можно не отвечать (сам допер)
Почему EFO равнобедренный?