Сторона квадрата ABCD равна 4, точка пересечения диагоналей S, середина отрезка AB P,...

Question

Сторона квадрата ABCD равна 4, точка пересечения диагоналей S, середина отрезка AB P, точка пересечения отрезков AC и PD M, точка пересечения отрезков BD и PC N. Найдите площадь четырехугольника PMSN

Answer 1

Разместим квадрат ABCD в координатной плоскости, совместив вершину А с началом координат. Если сторона квадрата равна 4, то координаты точек:
A(0 ; 0), B(0 ; 4), C(4 ; 4), D(4 ; 0), P(0 ; 2) т.к. Р - середина АВ.
Для нахождения координат точек M и N, составим уравнения прямых AC, BD, PD  и PC и найдем координаты их точек пересечения.

АС: y = x        BD: y = - x + 4      PD: y = - x/2 + 2      PC: y = x/2 + 2
M = AC∩PD:      приравниваем правые части соответствующих уравнений
                             x = - x/2 + 2
                             3x/2 = 2
                             x =4/3       y = 4/3
                             М(4/3 ; 4.3)
N = BD∩PC:      - x + 4 = x/2 + 2
                            3x/2 = 2
                             x = 4/3        y = - 4/3 + 4 = 8/3
                             N(4/3 ; 8/3)
Так как координаты х  этих точек одинаковы, то MN║AB.
Длина отрезка MN = 8/3 - 4/3 = 4/3
PS - средняя линия ΔABD, следовательно PS║AD, PS = AD/2 = 2
Значит, MN⊥PS.

Spmsn = PS · MN/2 = (2 · 4/3)/2 = 4/3