Дан произвольный треугольник. А) Докажите, что через любую точку, лежащую в плоскости этого треугольника, можно провести прямую, которая делит его площадь пополам. Б) Для каких точек плоскости такая прямая может быть выбрана единственным образом? В) Сколько существует точек плоскости, в которых можно провести более одной прямой, делящей площадь треугольника пополам? Г.) Каково максимально возможное число прямых, проходящих через одну точку и делящих площадь треугольника пополам. Приведите пример и доказательство максимальности.
Пункт (А) я решил:
В треугольнике ABC проведём медиану BM. Она делит площадь треугольника ABC пополам. Отметим произвольную точку K между вершиной C и точкой M. Проведём прямую BK и прямую MP параллельно BK. Тогда площади треугольников KBM и KBP равны, т.к. у них общая сторона BK и равные высоты (т.к. MP и BK параллельны). Площадь четырёхугольника BCKP равна Sbck+Skbp. Т.к. Skbp=Skbm, то Sbckp=Sbck+Skbm. Но эта сумма есть площадь треугольника MBC и равна 0,5*Sabc (т.к. BM - медиана треугольника ABC). Значит прямая KP делит площадь треугольника ABC пополам.
Помогите, пожалуйста, с пунктами (Б), (В), (Г)!