Найти наименьшее значение функции: y = sqrt(4^(3x^2+2))+4*sqrt(4^(1-3x^2))

Заметим, что каждое слагаемое положительно, тогда по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем:
$\sqrt{4^{3x^2+2}}+4 \sqrt{4^{1-3x^2}} \geq 2 \sqrt{4 \sqrt{4^{3x^2+2}\cdot 4^{1-3x^2}} } =4 \sqrt{ \sqrt{4^3} } =8 \sqrt{2} .$

Равенство достигается в точке минимума, когда $\sqrt{4^{3x^2+2}} =4 \sqrt{4^{1-3x^2}}$ откуда $x=\pm \dfrac{1}{ \sqrt{6} }$

Наименьшее значение функции: $8 \sqrt{2}$