найти наибольшее значение выражения 3sin x - 4cos x

Используем метод введения дополнительного угла:
$3sinx - 4cosx = 5(sinx \dfrac{3}{5} - cosx\dfrac{4}{5}) = \\ \\ = 5(sinx \cdot cos(arccos\dfrac{3}{5} ) - cosx \cdot sin(arcsin \dfrac{4}{5}) )= \\ = 5(sin(x - arcsin \dfrac{4}{5}) )$
Мы знаем, что sinA может принимать значения в пределах от -1 до 1, поэтому наибольшее значение будет равняться 5.
Ответ: 5.