Объясните как решить уравнение,плиз)

$\sqrt{3}sinx-cosx=-2\ \big| \cdot \frac{1}{2}$
$\frac{ \sqrt{3} }{2} sinx- \frac{1}{2} cosx=-1\\ sin \frac{ \pi }{3} sinx-cos \frac{ \pi }{3} cosx=-1\\ cos(x+\frac{ \pi }{3} )=1\\ x+\frac{ \pi }{3} =2 \pi k\\ x=-\frac{ \pi }{3} +2 \pi k,\ k \in Z.$
Отбор корней:
$-4 \pi \leq -\frac{ \pi }{3} +2 \pi k \leq -2 \pi \\ -4 \leq -\frac{ 1 }{3} +2 k \leq -2\ \big| \cdot 3\\ -12 \leq -1+6k \leq -6\\ -11 \leq 6k \leq -5$
Из последнего неравенства следует, что k = -1
Корень $x=-\frac{ \pi }{3} +2 \pi *(-1)=-\frac{ 7\pi }{3}$
$\ \Rightarrow \alpha =7, \beta =3\\ \alpha + \beta =10$