Дан прямоугольник со сторонами, параллельными сторонам сетки. Количество узлов сетки...

Question

Дан прямоугольник со сторонами, параллельными сторонам сетки. Количество узлов сетки внутри него равно 437472, количество единичных отрезков сетки внутри него равно 877177. Найдите стороны прямоугольника. В качестве ответа выведите длины сторон прямоугольника, разделяя их одинарным пробелом, в порядке возрастания, например, 12 23.

Answer 1

Для прямоугольника M x N внутри окажется M - 1 ряд по N - 1 узлу - всего (M - 1)(N - 1) = MN - (M + N) + 1 узлов.
Единичных горизонтальных отрезков: M - 1 рядов по N в каждом, вертикальных: N - 1 рядов по M в каждом. Всего отрезков (M - 1)N + (N - 1)M = 2MN - (M + N)

2MN - (M + N) = 877 177
MN - (M + N) + 1 = 437 472

2MN - (M + N) = 877 177
MN - (M + N) = 437 471

Вычитаем: 
MN = 877 177 - 437 471 = 439 706

Тогда M + N = MN - 437 471 = 2 235

По теореме Виета M, N - корни уравнения x^2 - 2235 x + 439706 = 0.
Вспоминая, какое сегодня число, угадываем один из корней, второй находим по теореме Виета.

Ответ. 218, 2017.