Произведение синусов равно 1, когда они одновременно равны или плюс 1, или минус 1, т.е.
1) sin(π√x) = 1 и sin(π√(x+6)) = 1
Решением первого будет:
π√x = π/2 + 2πn, где n∈Z, или √x = 1/2 + 2n, или x = (2n + 1/2)²
Решением второго:
π√(x+6) = π/2 + 2πm, где m∈Z, или √(x+6) = 1/2 + 2m, или x = (2m +1/2)² - 6
Приравняем оба решения друг другу: (2n + 1/2)² = (2m + 1/2)² - 6
Перепишем: (2m + 1/2)² - (2n + 1/2)² = 6
По формуле разности квадратов:
(2m + 1/2 - 2n - 1/2)*(2m + 1/2 + 2n + 1/2) = 6
(2m - 2n)*(2m + 2n + 1) = 6
(m - n)*(2m + 2n + 1) = 3
Произведение равно простому числу, значит, сомножители м.б. равны (+1) и (+3) или (-1) и (-3). Однако из решений √x = 1/2 + 2n и √(x+6) = 1/2 + 2m следует, что n≥0 и m≥0. Отсюда (2m + 2n + 1) ≥ 1, а значит, и (m - n) ≥ 0. Поэтому рассмотрим только следующие два варианта.
а) m - n = 1; 2m + 2n + 1 = 3;
m - n = 1; m + n = 1;
Отсюда, m=1 и n =0. Тогда, x = (2*0 + 1/2)² = 1/4 и x = (2*1 +1/2)² - 6 = 1/4
Есть решение: x = 1/4, значение проходит проверку.
б) m - n = 3; 2m + 2n + 1 = 1;
m - n = 3; m + n = 0;
Отсюда, 2m = 3, решения нет, m - не целое число.
Итак, x = 1/4
2. sin(π√(x) = -1 и sin(π√(x+6) = -1;
Решением первого будет:
√x = 2n - 1/2; x = (2n - 1/2)^2
Решением второго:
√(x+6) = 2m - 1/2; x = (2m - 1/2)^2 - 6
Делаем всё аналогично.
(2n - 1/2)² = (2m - 1/2)² - 6; (2m - 1/2) ² - (2n - 1/2)² = 6;
(2m - 1/2 - 2n + 1/2)*(2m - 1/2 + 2n - 1/2) = 6
(2m - 2n)*(2m + 2n -1) = 6
(m - n)*(2m + 2n - 1) = 3
Произведение равно простому числу, значит, сомножители м.б. равны (+1) и
(+3) или (-1) и (-3). Однако из решений √x = 2n - 1/2 и √(x+6) = 2m - 1/2 следует, что n≥1 и m≥1. Отсюда (2m + 2n + 1) ≥ 3, а значит, и (m - n)
≥ 0. Более того, (2m + 2n + 1) = 3 и (m - n) = 1. Этот вариант и рассмотрим.
m - n = 1; 2m + 2n - 1 = 3;
m - n = 1; m + n = 2;
Отсюда, 2m = 3, решения нет.
Ответ: x = 1/4