В окружности проведён диаметр AB, C - произвольная точка окружности, J - центр вписанной...

Question

В окружности проведён диаметр AB, C - произвольная точка окружности, J - центр вписанной в ABC окружности. Какую линию описывает точка J, когда C пробегает все точки окружности, отличные от A и B?

ниже следует ответ человека, который по некоторым причинам смог написать его только в комментариях, прикрепляю для других нуждающихся
________________________________
Если С1 - середина дуги AB, не содержащей точку C (еще раз - НЕ содержащей), то центр J "описывает" окружность с центром в C1 и радиусом AC1 2:24 23.07.2017 Ну, если нужно доказательство этого известного факта, то все это потому, что ∠C1AJ = ∠C1JA = (∠A + ∠C)/2; ∠A и ∠C углы треугольника ABC. В таком виде это равенство сразу видно, если правильно нарисован чертеж. Ну, значит, треугольник C1AJ равнобедренный, C1A = C1J; Это очень полезная задача, её результат используется при выводе формулы Эйлера для треугольника. То есть это маленький шажочек в сторону теоремы Понселе.

Comments

Если С1 - середина дуги AB, не содержащей точку C (еще раз - НЕ содержащей), то центр J "описывает" окружность с центром в C1 и радиусом AC1 2:24 23.07.2017

---

Ну, если нужно доказательство этого известного факта, то все это потому, что ∠C1AJ = ∠C1JA = (∠A + ∠C)/2; ∠A и ∠C углы треугольника ABC. В таком виде это равенство сразу видно, если правильно нарисован чертеж. Ну, значит, треугольник C1AJ равнобедренный, C1A = C1J;

---

Это очень полезная задача, её результат используется при выводе формулы Эйлера для треугольника. То есть это маленький шажочек в сторону теоремы Понселе. Мне даже немного жаль, что я больше не публикую решения в ответах, и через некоторое время эта задача отсюда пропадет вместе с ответом.

---

Спасибо) Я попробую вставить твой ответ в мой вопрос, чтобы другие тоже видели его решение.

---

не, не получится :)

---

если ответа не будет, задача будет удалена через несколько дней. Кстати, AB не обязательно диаметр, любая хорда годится. С1A = C1B = C1J это общее свойство

---

Вы, главное, разберитесь в решении, нарисуйте для этого чертеж и поймите, почему равны указанные мной углы. А насчет этого сайта не беспокойтесь - первоначальная его ценность уже давно потеряна, его невозможно использовать для самообучения. На 99% тут выкладываются простейшие вопросы. Найти 1% полезного среди этого мусора невозможно.

Answer 1

Рискну, все-таки, представить решение.
Возьмем произвольную точку С на окружности (O;R).
Треугольник АВС - прямоугольный, так как опирается на диаметр.
Точка J -  центр вписанной в этот треугольник окружности - лежит на пересечении биссектрис углов треугольника АВС.
Проведем прямую СJ до пересечения с описанной  окружностью (O;R).
Точка пересечения D - конец диаметра, так как вписанный
Заметим, что Проведем прямую АJ до пересечения с описанной  окружностью (O;R).
Следовательно, точка J описывает дугу окружности радиуса R√2 c центрами в точках D и E ( в зависимости от расположения точки С относительно диаметра АВ).

---

Comments

Ничего рискованного, все именно так и есть. Я уже писал, что AB не обязательно диаметр, все равно AD = DJ (в ваших обозначениях). И причина очень проста - так как СJ и AJ биссектрисы, точки D и C1 (в ваших обозначениях) попадают на середины дуг AB и CB. Отсюда и получается, что углы при стороне AJ тр-ка ADJ равны (A + C)/2; A и C - углы тр-ка ABC.

---

вы лучше вот тут выложите оформленное решение https://znanija.com/task/24926608. Это тоже очень хорошая задача, и я там уже главную суть решения написал в комменте. Но если тщательно оформить, там есть много интересного.