Докажите по индукции что:

При k=1 (базис индукции)
$\frac{1}{2} \ \textless \ \frac{2}{3}$
утверждение верно.
Предположим, что утверждение верно при k=n-1 (n>1):
$\frac{1}{2} * \frac{3}{4} * \frac{5}{6} *...* \frac{2(n-1)-1}{2(n-1)} \ \textless \ \frac{2(n-1)}{2(n-1)+1} \\ \frac{1}{2} * \frac{3}{4} * \frac{5}{6} *...* \frac{2n-3}{2n-2} \ \textless \ \frac{2n-2}{2n-1} \\$ ,
и убедимся, что утверждение верно для k=n (n>1).
Действительно,
$\frac{1}{2} * \frac{3}{4} * \frac{5}{6} *...* \frac{2n-2}{2n-2} * \frac{2n-1}{2n} \ \textless \ \frac{2n-2}{2n-1} *\frac{2n-1}{2n}= \frac{2n-2}{2n} = \frac{(2n-2)(2n+1)}{2n(2n+1)}=\\= \frac{4n^2+2n-4n-2}{2n(2n+1)} = \frac{4n^2-2n-2}{2n(2n+1)} = \frac{2n-1- \frac{1}{n} }{2n+1} \ \textless \ \frac{2n}{2n+1}$
Следовательно доказываемое утверждение верно для всех натуральных n.