Решить однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: y''+y=0;...

Воспользуемся методом Эйлера.
Пусть $y=e^{kx}$ , тогда получаем

$k^2+1=0$ - характеристическое уравнение

$k=\pm i$

Общее решение однородного уравнения: $y=C_1\cos x+C_2\sin x$

$y'=-C_1\sin x+C_2\cos x$
Найдем решение задачи Коши
$\displaystyle \left \{ {{1=C_1\cos \frac{\pi}{2} +C_2\sin \frac{\pi}{2}} \atop {0=-C_1\sin \frac{\pi}{2}+C_2\cos \frac{\pi}{2}}} \right. ;\,\,\, \left \{ {{1=C_2} \atop {0=C_1}} \right.$

Частное решение: $y=\sin x$