Дан прямоугольник со сторонами, параллельными сторонам сетки. Количество узлов сетки...

Question

33 просмотров

Дан прямоугольник со сторонами, параллельными сторонам сетки. Количество узлов сетки внутри него равно 435672, количество единичных отрезков сетки внутри него равно 873577. Найдите стороны прямоугольника. В качестве ответа выведите длины сторон прямоугольника, разделяя их одинарным пробелом, в порядке возрастания, например, 12 23.

Математика Bass564_zn (12 баллов) 16 Май, 18 | 33 просмотров

Дан 1 ответ

25hjoerf10_zn · Answer 1 · 2018-05-16T00:58:29+0000

Пусть х единичных отрезков - длина прямоугольника,
у единичных отрезков - ширина прямоугольника.
Тогда (х - 1) - количество единичных отрезков сетки перпендикулярных длине, а также и количество узлов внутри прямоугольника в одном ряду по длине,
а (у - 1) - количество единичных отрезков сетки перпендикулярных ширине, а также и количество узлов внутри прямоугольника в одном ряду по ширине.
Получаем систему уравнений:
у(х - 1) + х(у - 1) = 873577
(х - 1)(у - 1) = 435672

$\left \{ {{y(x-1)+x(y-1)=873577} \atop {(x-1)(y-1)=435672}} \right.; \left \{ {{xy-y+xy-x=873577} \atop {xy-x-y+1=435672}} \right. ;$

$\left \{ {{xy= \frac{873577+x+y}{2} } \atop {xy=435672-1+x+y}} \right. \\ \\ \frac{873577+x+y}{2} =435671+x+y \\ \\ 873577+x+y=2(435671+x+y) \\ \\ 873577+x+y=871342+2x+2y \\ \\ 2x-x+2y-y=873577-871342 \\ \\ x+y=2235 \\ x=2235-y.$ ;

(2235 - у - 1)(у - 1) = 435672
2235у - 2235 - у² + у - у + 1 = 435672
- у² + 2235у - 435672 - 2235 + 1 = 0
- у² + 2235у - 437906 = 0
у² - 2235у + 437906 = 0
D = 2235² - 4 * 437906 = 4995225 - 1751624 = 3243601 = 1801²

$y_{1} = \frac{2235+1801}{2} =2018 \\ \\ y_{2} =\frac{2235-1801}{2} =217 \\$

(х - 1)(у - 1) = 435672
$x-1= \frac{435672}{y-1} \\ \\ x= \frac{435672}{y-1} +1 \\ \\ x_{1} = \frac{435672}{2018-1} +1=217 \\ \\ x_{2} = \frac{435672}{217-1} +1=2018 \\$

Ответ: 217 2018.