Sinx-корень из 2 sin3x =-sin5x

$\sin x- \sqrt{2} \sin 3x=-\sin 5x\\ \\ \sin x+\sin 5x-\sqrt{2} \sin 3x=0\\ \\ 2\sin \frac{x+5x}{2}\cos \frac{5x-x}{2} -\sqrt{2} \sin3x=0\\ \\ 2\sin3x\cos2x-\sqrt{2} \sin 3x=0\\ \\ \sin3x(2\cos 2x-\sqrt{2} )=0$

Произведение множителей равен нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$\sin3x=0;\,\, \Rightarrow\,\,\, 3x= \pi k,k \in \mathbb{Z};\,\,\, \Rightarrow\,\,\, \boxed{x_1= \frac{\pi k}{3} ,k \in \mathbb{Z}}\\ \\ \\ \cos 2x= \frac{1}{\sqrt{2} } \Rightarrow\,\,\, 2x=\pm \frac{\pi }{4}+2 \pi n,n \in \mathbb{Z};\,\,\, \Rightarrow\,\, \boxed{x_2=\pm \frac{\pi}{8}+ \pi n,n \in \mathbb{Z} }$