Пожалуйста помогите с решением задания 278 , с пояснением!!!!!

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1) $a=10^{37}-199$ делится на 99. Добавим к a 99, умноженное на 2 - делимость на 99 при этом не изменится, а число упростится:

$a+2\cdot 99=10^{37}-1=9999\ldots 999$ (всего 36 девяток).

Теперь можно или просто разделить получившееся число на 99 - получится

$10101\ldots 0101$ (18 единиц и 17 нулей),

или сослаться на признаки делимости на 9 (сумма цифр должна делиться на 9) и на 11 (сумма цифр с чередованием знаков должна делиться на 11).

2) $a=2^{25}+1.$

$2^{5}=32=33-1$

(математики говорят так: число 2 в пятой степени сравнимо с минус 1 по модулю 33. А тогда

$2^{10}=(2^5)^2=(33-1)^2=33^2-2\cdot 33 +1$

(то есть два в десятой сравнимо с 1 по модулю 33; иными словами, два в десятой дает остаток 1 при делении на 33). Можно сказать, что

$2^{10}=33A+1$ .

А тогда

$2^{20}=(2^{10})^2=33B+1$

(соображайте сами, что это за B там возник). То есть два в двадцатой сравним с 1 по модулю 33. А два в пятой был сравним с минус единицей по модулю 33. Если Вы правильно поняли мои рассуждения, Вам несложно будет сообразить, что отсюда следует, что

$2^{25}=2^{20}\cdot 2^5$

будет сравним с минус единицей, а тогда $2^{25}+1$ будет сравним с нулем по модулю 33. Что и означает, что это число делится на 33.

yugolovin_zn (64.0k баллов) 16 Май, 18